Drukuj | Poleć znajomemu

Aby zobaczyć rozwiązania musisz być zalogowany lub poprostu się zarejestrować

Rozwiązane przykładowe zadania z analizy wektorowej

Zadanie 1.1

Jeżeli: A = 10ax- 4ay + 6az oraz B = 2ax + ay, znajdź: składowa A wzdu ay wartość różnicy: 3A - B wektor jednostkowy wzdłuż A + 2B

Rozwiązanie:

• Podaj wynik składowej:
• Podaj wynik wartości różnicy (do dwóch miejsc po kropce):
• Policz wektor C: C = A + 2B; postać zapisu (x,y,z)

Zadanie 1.16

Wektor A o wartości 10 skierowany jest do środka układu współrzędnych cylindrycznych. Koniec wektora znajduje się w punkcie o współrzędnych (5, 5π/4 ,0) (patrz rysunek). Wyraź ten wektor w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Rozwiązanie:

W cylindrycznym układzie współrzędnych wektor A może być wyrażony jako 10a_r.gdzie Ø = Π/4. Można zatem zapisać, że:

Tak więc wynik końcowy ma postać:

Należy zwrócić uwagę na fakt, że współrzędna promieniowa (5) jest nieistotna.

Zadanie 1.30

Wykazać (korzystając z twierdzenia Gaussa - Ostrogradskiego), że strumień wektora położenia r przez dowolnie ukształtowaną powierzchnie zamkniętą s jest równy potrojonej wartości objętości obejmowanej przez tę powierzchnię. Sprawdzić tę właściwość dla prostopadłościanu utworzonego przez płaszczyzny: układu współrzędnych i płaszczyzny: x = a, y = b, z = c.

Rozwiązanie:
Strumień wektora położenia przez dowolnie ukształtowaną powierzchnię zamkniętą obliczamy z zależności:

(1)

Korzystając z twierdzenia Gaussa - Ostrogradskiego:

Dywergencję wektora położenia najwygodniej obliczyć w układzie współrzędnych kulistych:

Podaj wartość dywergencji:

Jeżeli powierzchnia zamknięta ma proste kształty, to strumień wektora położenia można obliczyć bezpośrednio z zależności (1). W układzie współrzędnych prostokątnych: .

(2)

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan, którego podstawy oznaczono literami s1, s2, a ściany boczne: s3, s4, s5, s6. Podstawiając do zależności (2) współrzędne wektora położenia na poszczególnych ścianach, otrzymamy:

Podaj wartość dywergencji: